康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學(xué)。這時柏林大學(xué)正在形成一個數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運動。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學(xué)。這時柏林大學(xué)正在形成一個數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運動。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個基礎(chǔ)，集合論不僅了數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學(xué)。這時柏林大學(xué)正在形成一個數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的批判運動。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個目地進入了柏林大學(xué)。這時柏林大學(xué)正在形成一個數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運動。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。正是這19世紀發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。

【內(nèi)容提要】吳文俊是中國少數(shù)幾位有國際聲譽和重要影響的數(shù)學(xué)家之一。本文簡短地介紹吳文俊不平坦的學(xué)術(shù)經(jīng)歷，著重論述他在拓撲學(xué)及數(shù)學(xué)機械化的學(xué)術(shù)成就及影響。

【關(guān)鍵詞】吳文俊/拓撲學(xué)/數(shù)學(xué)機械化/中國數(shù)學(xué)史/對策論

【正文】

吳文俊是少數(shù)幾位有國際聲譽和重大影響的中國數(shù)學(xué)家之一，不過在國內(nèi)，他似乎一直默默無聞。2001年2月，國內(nèi)首屆“國家科學(xué)技術(shù)獎”頒發(fā)給吳文俊和袁隆平時，袁隆平和他的雜交水稻早已名滿天下，而記者在爭相報導(dǎo)吳文俊時，卻發(fā)現(xiàn)原始材料少得可憐。其實，吳文俊獲大獎，這已經(jīng)不是第一次，而是第八次了。國際、國內(nèi)的大獎只是向公眾和媒體傳達了一個信息，吳文俊的工作很重要，但是，判斷吳文俊的工作有多重要，還是要看行家的評判。吳文俊獲得第一個大獎是1956年中國頒發(fā)的首屆國家自然科學(xué)獎一等獎。當(dāng)時獲一等獎的只有三人，華羅庚、錢學(xué)森、吳文俊。華、錢的大名在當(dāng)時已經(jīng)屢屢見諸報端，他們獲獎的確在意料之中，可是吳文俊的名字有多少人知道呢？而且他獲獎的工作“示性類和示嵌點的研究”對于大多數(shù)數(shù)學(xué)家來說，至今也還是說不清道不明，更不用說一般平民百姓了。吳文俊在國內(nèi)雖然名氣不大，但在當(dāng)時國際數(shù)學(xué)界，尤其是領(lǐng)頭人物當(dāng)中，卻非常知名。美國著名數(shù)學(xué)家、國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟第一屆主席斯通(M.stone,1903-1989)在1961年的文章中講到新中國的數(shù)學(xué)時，寫下這樣一段話：雖然從整體上講，中國人的貢獻在數(shù)學(xué)界影響不是很大，但“少數(shù)大陸中國人被公認為天才而有成就的數(shù)學(xué)家，他們最近的貢獻被高度評價。做為例子可以舉出，吳文俊引進的新拓撲不變量，以及華羅庚對許多復(fù)變函數(shù)論的研究。[9]真是英雄所見略同，恰巧是斯通舉的兩位在五年前獲得數(shù)學(xué)方面兩個一等獎。

當(dāng)然，不管大獎小獎都會有給的不合適的地方，諾貝爾獎也有幾位是有問題的。但是，歷史是無情的，科學(xué)上只有那些推動歷史前進的貢獻才是頂尖的、站得住腳的。達到這種水平的貢獻也必然受到大科學(xué)家的關(guān)注。從1954年到1970年，每屆都有拓撲學(xué)家獲得菲爾茲獎，而獲獎的大數(shù)學(xué)家道姆(R.Thom)、米爾諾(J.Milmor)阿蒂亞(M.Atiyah)、斯梅爾(S.Smale)等人都在他們的主要論文中引用過吳文俊的工作。獲得首屆沃爾夫獎的蓋爾范得(I.Gelfand)在1956年吳去蘇聯(lián)時，就主動關(guān)注吳的工作，其他東歐國家也都知道吳工作的份量。說到底，吳文俊拓撲學(xué)的工作在當(dāng)時已經(jīng)毫不含糊地是國際領(lǐng)先的，而不是我們現(xiàn)在常常講的要在幾年內(nèi)趕超國際水平。吳文俊這方面的工作已成世界數(shù)學(xué)寶庫中的經(jīng)典，他1950年的論文到2001年還有人在引用！

如果說，拓撲學(xué)說到底是西方人的獨創(chuàng)，吳文俊只是大大發(fā)展它，那么吳文俊的數(shù)學(xué)機械化則是完全他從研究中國數(shù)學(xué)史而產(chǎn)生的思想，是中國人自己的獨創(chuàng)，它走上一條與西方迥然不同的道路。這條道路顯示出吳文俊特立獨行的風(fēng)格，它成果累累，也得到許多客觀的西方數(shù)學(xué)家的承認，正因為如此，吳文俊榮獲了厄布朗(J.Herbrand)獎，而這個獎本來是獎給數(shù)理邏輯方面的杰出研究的。