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【知識(shí)點(diǎn)】
整式乘法與因式分解一個(gè)是積化和差,另一個(gè)是和差化積,是兩種互逆的變形.
即:
多項(xiàng)式整式乘積
【練習(xí)題】
1.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
2.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
3.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
4.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
5.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
6.
下列因式分解正確的是
①
②
③
④
⑤
答案
1.
1;2
2.
1;3;5
3.
4;5
4.
3;4
5.
2;4
6.
小班化教學(xué),是現(xiàn)代化教育的重要理念,強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為本”,教學(xué)活動(dòng)必須適應(yīng)學(xué)生的差異,使每個(gè)學(xué)生都擁有均等的參與教學(xué)機(jī)會(huì).要提高小班化教學(xué)效果,除了研究如何提高課堂教學(xué)的有效性外,練習(xí)有效性的探究也不容忽視.設(shè)計(jì)不同層次的練習(xí),能讓教師從不同的角度了解學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展能力的綜合信息,比較準(zhǔn)確地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,及時(shí)發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題,從而為改進(jìn)教學(xué)方法、調(diào)節(jié)教學(xué)結(jié)構(gòu)提供科學(xué)依據(jù).
一、學(xué)生分層,確定分層練習(xí)的對(duì)象
根據(jù)學(xué)生的智力、基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)態(tài)度和個(gè)人意愿等,將學(xué)生分成三個(gè)層次的學(xué)習(xí)小組:暫差生或?qū)W困生分為A組,中等水平的學(xué)生分為B組,優(yōu)秀生分為C組. 這樣分組的目的是,幫助學(xué)生合理定位,了解自己的真實(shí)水平,同時(shí)獲悉其他同學(xué)的基本情況,便于同學(xué)間的相互學(xué)習(xí)與交流.
二、練習(xí)分層,提高成效
分層練習(xí)的特點(diǎn):(1)基本練習(xí):重在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的操練,如簡單的計(jì)算、基本畫圖、熟記公式、定理等鞏固練習(xí),主要適合于A組學(xué)生.(2)綜合練習(xí):重在對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用,主要適合B組學(xué)生.(3)開放性的練習(xí):題型靈活多樣,偏重于理解、想象、運(yùn)用,一般適合于C組學(xué)生.
針對(duì)上述三個(gè)層次練習(xí)的特點(diǎn),教師可以設(shè)計(jì)出獨(dú)立型分層練習(xí)和合作型分層練習(xí).1.獨(dú)立型分層練習(xí).(1)按題目的難易程度設(shè)計(jì)分層練習(xí).例如,在講“因式分解”后,我設(shè)計(jì)如下練習(xí):A組:把下列各式因式分解:3ax2-3ay4;-2xy-x2-y2;3ax2+6axy+3ay2.B組:利用圖形面積因式分解:a2+3ab+2b2;a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.C組:請(qǐng)寫出一個(gè)三項(xiàng)式,使它能先提公因式,再運(yùn)用公式法來因式分解.你編的三項(xiàng)式是,分解因式的結(jié)果是.C組的學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)課本上的例題和習(xí)題,而且要懂得借助課本內(nèi)容的思想方法去編擬習(xí)題.這是有效教學(xué)的一種表現(xiàn)形式.這樣的練習(xí),既讓不同層次的學(xué)生鞏固了課本知識(shí),而且為學(xué)生提供了自主發(fā)展的機(jī)會(huì).(2)同一題目設(shè)計(jì)不同梯度的問題.(3)按目標(biāo)的不同對(duì)同一練習(xí)提出不同層次的要求.2.合作型分層練習(xí).由于不同的學(xué)生的能力有所差異,有些學(xué)生有較強(qiáng)的思維能力,有些學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力.在設(shè)計(jì)分層練習(xí)時(shí),教師應(yīng)安排一些合作型的練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力.合作型的練習(xí)一般分為相同層次型合作練習(xí)和互補(bǔ)型的合作練習(xí).(1)相同層次型合作練習(xí).由一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、能力、智趣等相近的學(xué)生來完成.數(shù)學(xué)問題的解決往往可以有不同的方案,通過小組合作的形式,每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)提出自己的解題方案,都有可能獲得成功的體驗(yàn).同時(shí),可以與別人共同討論不同方案的優(yōu)缺點(diǎn).這有利于拓展學(xué)生的解題思路、增強(qiáng)學(xué)生的自信心、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.(2)互補(bǔ)型的合作練習(xí).所謂“互補(bǔ)”是指具有不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)相互補(bǔ)充、相互合作的一種形式.比如,思維能力較強(qiáng)和動(dòng)手能力較強(qiáng)的學(xué)生相互合作,能充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢來共同完成學(xué)習(xí)任務(wù).例如,在講“相似三角形”后,我布置如下練習(xí):請(qǐng)運(yùn)用相似三角形知識(shí)設(shè)計(jì)方案來測量某棵大樹的高度,不能爬上大樹,也不能把樹砍倒,工具有卷尺、標(biāo)桿、鏡子等.要求畫出示意圖,簡單說明測量原理(以小組為單位完成).這次練習(xí)有的學(xué)生找了與自己“互補(bǔ)”的同伴合作完成了任務(wù).在完成任務(wù)的同時(shí),使學(xué)生對(duì)相似三角形的構(gòu)造及應(yīng)用有了深刻理解,也使學(xué)生的探究能力、實(shí)踐能力及合作能力有了一定程度的提高.
《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“ 作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué),有著自身的特點(diǎn)與規(guī)律,它的基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。”數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生“學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì),去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題,形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。”根據(jù)學(xué)生知識(shí)背景和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,設(shè)計(jì)精巧實(shí)用的練習(xí)題,給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在觀察分析、討論交流、整理歸納的過程中去理解數(shù)學(xué)問題,應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去解決數(shù)學(xué)問題,體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值,不但能激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性,還能使學(xué)生學(xué)習(xí)的獨(dú)立性、創(chuàng)造性得到充分的體現(xiàn)。小組討論式教學(xué)正是培養(yǎng)學(xué)生的這一創(chuàng)新能力。
一、積極運(yùn)用小組討論方式的是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效教學(xué)形式
“小組討論”這種形式可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維和記憶的積極性,挖掘?qū)W生集體和個(gè)人的潛能,掃除學(xué)生個(gè)人掌握知識(shí)和認(rèn)識(shí)上的障礙,減輕疲勞感,喚起課堂上積極情緒。這樣,求知的主動(dòng)權(quán)就掌握在學(xué)生手里,為學(xué)生的思維活動(dòng)開拓了一個(gè)廣闊的天地。在學(xué)習(xí)了因式分解的意義后,我向?qū)W生提出問題: 是不是因式分解?有的學(xué)生乍一看不加思考,只是以形式看回答“是”。這時(shí),讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行討論,便會(huì)自己糾正自己的錯(cuò)誤,這樣就加深了對(duì)因式分解意義的理解。在學(xué)習(xí)了二元一次方程組的概念后,讓學(xué)生判斷方程組 是不是二元一次方程組?回答不一,經(jīng)小組討論達(dá)成了共識(shí)。在學(xué)習(xí)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角之后,為了突破這一節(jié)在教學(xué)中的難點(diǎn),我編了兩道題讓學(xué)生判斷對(duì)錯(cuò):①有公共頂點(diǎn),沒有公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角;②有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角,當(dāng)時(shí)沒有讓學(xué)生急于回答問題,而是在小組內(nèi)共同完成,選出代表回答。結(jié)果小組的代表的回答無一出錯(cuò),他們還配有圖的說明,在這一過程中,學(xué)得好的學(xué)生得到了提高,學(xué)得差的學(xué)生受到了帶動(dòng),互相啟發(fā),共同提高。其中,教師的啟發(fā),誘導(dǎo)作用也是很重要的。當(dāng)學(xué)生無法解答時(shí),給以有效的啟發(fā),當(dāng)學(xué)生發(fā)言有疏漏時(shí)給予補(bǔ)充;有錯(cuò)誤時(shí),給予糾正;有疑問時(shí),給以疏通,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
二、加強(qiáng)解題指導(dǎo)強(qiáng)化小組訓(xùn)練引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維
1.通過一定數(shù)量的解題,再總結(jié)出規(guī)律
解一定數(shù)量的數(shù)學(xué)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的功課,經(jīng)過解題才進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí),體會(huì)它們的作用,熟悉它們的用途,掌握運(yùn)用技能,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,在完成一定數(shù)量習(xí)題的基礎(chǔ)上,應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生的解題思路,總結(jié)解題規(guī)律。例如在解一元二次方程時(shí),時(shí)常涉及到根的判別式,以及根與系數(shù)的關(guān)系,在解直角三角形時(shí),也經(jīng)常涉及到邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換等等。掌握這些規(guī)律后,解題時(shí)就能得心應(yīng)手,順利完成。
2.重視“一題多解,一題多變”,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維
同一題目,可以從不同角度通過不同的途徑求解。鼓勵(lì)學(xué)生以問題為出發(fā)點(diǎn),在解法上求異,尋求盡可能多的解題方法和思路,同時(shí)對(duì)同一題學(xué)生得出的解法要及時(shí)反饋學(xué)生,讓他們以不同角度去思考問題,這樣才能深刻地理解和掌握新學(xué)的知識(shí),便于溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,提高思維的變通性。有時(shí)還根據(jù)題目的特點(diǎn),結(jié)合學(xué)生的實(shí)際進(jìn)行變題練習(xí)。例如在學(xué)習(xí)因式分解之后,讓學(xué)生對(duì)y2+7y+12進(jìn)行變形的練習(xí),發(fā)現(xiàn)學(xué)生變得很好,有的變形為x2+7xy+12 y2,(a+b)2+7(a+b)+12等。這樣既能拓寬學(xué)生思維,培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性,又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)層次練習(xí),強(qiáng)化思維練習(xí),練習(xí)是形成技能的基礎(chǔ),也是發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考的一種方法,通過練習(xí)促使學(xué)生將新知識(shí)加以應(yīng)用,起到舉一反三的效果,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。正所謂“學(xué)中練,練中學(xué)”,這也體現(xiàn)了以學(xué)生為主體,以訓(xùn)練為主線的教學(xué)方式。一般地,第一層,再現(xiàn)知識(shí)的練習(xí),第二層,鞏固知識(shí)的練習(xí),第三層,應(yīng)用知識(shí)的綜合練習(xí),第四層,深化知識(shí)的智能練習(xí),由淺入深,由易到難,讓學(xué)生自己動(dòng)筆、動(dòng)腦、動(dòng)手,既提高了學(xué)生的解題能力,又拓寬了學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域和思維,也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神。
三、在小組討論中運(yùn)用研究性教學(xué)引發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維
在應(yīng)用題的教學(xué)過程中,根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)練習(xí)題,引導(dǎo)、幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中,在真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法去解決數(shù)學(xué)問題。
如這道在講三角函數(shù)餓圖像和性質(zhì)時(shí)的例題:如圖4-6,某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=asin(wx+&)+b.(a>0,w>0.)
求:(1)求這段時(shí)間的最大溫差。
(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。
這道題用生活中的例子,從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)由淺如深地鞏固了學(xué)生的知識(shí),不同的學(xué)生對(duì)此題有不同的解題方式,得到不同的解法,在解決問題的過程中,學(xué)生可以根據(jù)自己的理解進(jìn)行思考、尋求解決問題的方法。在此練習(xí)的過程中,教師的作用在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,擴(kuò)展學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),引導(dǎo)學(xué)生在同中求異、異中求新、新中求優(yōu),即有利于學(xué)生的自主探索,又有利于學(xué)生的合作學(xué)習(xí),讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值,感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,同時(shí)獲得廣泛的解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn),為學(xué)生將來適應(yīng)社會(huì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法解決實(shí)際問題做好堅(jiān)實(shí)的鋪墊。
1 誘發(fā)學(xué)生興趣,培養(yǎng)學(xué)生思維
數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生的學(xué)和教師的教共同活動(dòng)的過程,一切教學(xué)措施最終都必須通過學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)來體現(xiàn),知識(shí)的傳授、能力的培養(yǎng)要靠學(xué)生的積極思維活動(dòng)去實(shí)現(xiàn)。學(xué)生對(duì)于自己感興趣的事物總是力求主動(dòng)去認(rèn)識(shí)它、研究它。夸美因斯曾經(jīng)說過:“興趣是創(chuàng)造一個(gè)歡樂和光明的教育環(huán)境的主要途徑之一。”因此,教師要善于激發(fā)學(xué)生的興趣,使學(xué)生要學(xué)、愛學(xué);要善于創(chuàng)造條件放手讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng),發(fā)揮學(xué)生的自主能動(dòng)性,使學(xué)生善學(xué)、會(huì)學(xué),使學(xué)生更有信心、更主動(dòng)地學(xué),從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。如在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的意義時(shí),老師運(yùn)用多媒體設(shè)備演示問題:某住宅小區(qū)要種植一個(gè)面積為1000m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)隨寬x(單位:m)的變化而變化函數(shù)關(guān)系式為:從上面引例中,我們知道函數(shù)中的x,y與常量1000所表示的實(shí)際意義,現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)發(fā)揮自己的想象力,把函數(shù)中的有關(guān)量置于新的情景中。學(xué)生馬上被吸引住了,思維很活躍。有舉從甲地到已地1000米,一輛勻速行駛的汽車,它行駛的時(shí)間y隨速度x的變化而變化。有舉為記憶1000個(gè)單詞,所需天數(shù)y隨每天記憶單詞個(gè)數(shù)x的變化而變化。有舉為生產(chǎn)1000個(gè)機(jī)器零件,需天數(shù)y隨工效x的變化而變化等等,學(xué)生興趣盎然,學(xué)生思維能力在潛移默化中得到培養(yǎng)。
2 恰當(dāng)設(shè)疑,培養(yǎng)學(xué)生思維
“學(xué)起于思,思源于疑。”學(xué)習(xí)興趣和求知欲望往往是由疑問引起的。在教學(xué)過程中,恰當(dāng)?shù)脑O(shè)疑,也是引起學(xué)生思考的重要方法,通過提問使學(xué)生思維有明確的方向,在思維活動(dòng)中分析解決問題,培養(yǎng)思維能力 ,因此在課堂教學(xué)中要精心設(shè)計(jì)問題,以提問的形式把問題引發(fā)出來,使學(xué)生迅速進(jìn)入緊張的思維狀態(tài)。
例如:在講因式分解法解一元二次方程時(shí),講清其基本思想方法后向?qū)W生出示了下面一組問題x2-25=0,能用因式分解法解嗎?它的解有多少?一個(gè)生回答后我又變換了系數(shù)4x2-16=0呢?接著我又陸續(xù)提出這樣幾個(gè)問題(2x-1)2-49=0能用因式分解法解嗎?它和上面的題比較在形式上有什么不同?4x2-4x+1=(3x+2)2呢?能用平方差公式解的一元二次方程一般具有哪些特征?解題時(shí)要注意什么問題?這幾個(gè)問題提問的角度逐層加深,不僅觸及本節(jié)問題實(shí)質(zhì)而且還調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的 積極性,從而培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。
3 在實(shí)際操作中激發(fā)學(xué)生的思維
“眼高手低”。“好記性不如爛筆頭。”這都說明了動(dòng)手實(shí)際操作的重要性。學(xué)生動(dòng)手自己操作是根據(jù)學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律提出來的,學(xué)生掌握書本知識(shí)需要以感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),通過實(shí)際操作可以使知識(shí)系統(tǒng)化、形象化,為學(xué)生感性理解和記憶知識(shí)創(chuàng)造條件。學(xué)生動(dòng)手操作也是符合其思維發(fā)展的特點(diǎn),由具體到抽象,促使學(xué)生具體感知和抽象思維相結(jié)合,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。過去在課堂教學(xué)中教師有教具,但教具有局限性,學(xué)生只能看,不能人人動(dòng)手,現(xiàn)在改變了過去的這種做法,課堂上讓學(xué)生都準(zhǔn)備學(xué)具,動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口 ,使學(xué)生由被動(dòng)的聽變成主動(dòng)的學(xué)。
在學(xué)習(xí)配方法之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接開方法,形如x2=a、(x+b)2=a(a>0)類型的一元二次方程,學(xué)生都已經(jīng)會(huì)解,因此上課開始先簡單地復(fù)習(xí)直接開方法,并做此類型的解一元二次方程的練習(xí).
解下列方程:
(1)(x+3)2=25;
(2)(x-5)2=16.
請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生板演這兩道題,老師加以講評(píng),并把解題過程留在黑板上.
(1)(x+3)2=25,
x+3=±5,
x+3=5或者x+3=-5,
x1=2,x2=-8.
(2)(x-5)2=16,
x-5=±4,
x-5=4或者x-5=-4,
x1=9,x2=1.
直接開方使二次方程降為兩個(gè)一次方程,轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一元一次方程,學(xué)生已經(jīng)做得很好了,再讓他們
解下列方程:
(1)x2+6x+9=25;(2)x2-10x+25=16.
開始有許多學(xué)生動(dòng)不了筆,無法解題.“思考看看,討論討論,運(yùn)用學(xué)過的知識(shí),能轉(zhuǎn)化成直接開方的類型嗎?”教師進(jìn)一步啟發(fā).“哦,左邊就是上邊式子展開得到的.”“是嗎?能變回去嗎?”這時(shí)許多學(xué)生都開始動(dòng)筆了.
讓學(xué)生充分思考和討論后,提問學(xué)生“怎么變回去?用什么方法?”并總結(jié)“運(yùn)用乘法公式法將左邊進(jìn)行因式分解”.
接著再讓學(xué)生解下列方程:
(1)x2+6x=16;(2)x2-10x=-9.
學(xué)生又是長時(shí)間的思考,教師適當(dāng)提示:“與上面比較看看.”學(xué)生經(jīng)過思考后很快發(fā)現(xiàn)(1)式兩邊加上9,(2)式兩邊都加上25后,就是下面兩個(gè)式子:
(1)x2+6x+9=25;(2)x2-10x+25=16.
這時(shí)提問 :“加上這個(gè)數(shù)你是如何想出來的?”學(xué)生會(huì)說與上述式子比較得出的.“如果沒有上式呢?你還有辦法想出來嗎?”讓學(xué)生充分討論加上的數(shù)與什么項(xiàng)有關(guān)?與什么數(shù)有關(guān)?從而引出配方法的最基本方法.
(1)式兩邊都加上9,是6x的系數(shù)6的一半的平方;
(2)式兩邊都加上25是-10x的系數(shù)-10的一半的平方.
接著讓學(xué)生
解下列一元二次方程:
(1)x2+6x-16=0;(2)x2-10x+9=0.
學(xué)生細(xì)心觀察并與第三組練習(xí)題比較,很快發(fā)現(xiàn)只要將常數(shù)項(xiàng)移到右邊,就是第三次練習(xí)的題目.
解:(1)x2+6x-16=0,
x+6x=16,
x+6x+32=16+32,
(x+3)2=25,
x+3=±5,
x+3=5或者x+3=-5,
x1=2,x2=-8.
(2)x2-10x+9=0,
x-10x=-9,
x-10x+(-5)2=-9+(-5)2,
(x-5)2=16,
x-5=±4,
x-5=4或者x-5=-4,
x1=9,x2=1.
提問:這兩個(gè)方程你是怎么解的,步驟怎樣?過程如何?這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)?(最主要的特點(diǎn)是二次項(xiàng)系數(shù)為1)讓學(xué)生自己總結(jié)出二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的一般配方方法:
(1)將常數(shù)項(xiàng)移到右邊;
(2)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方,配成完全平方形式;
(3)運(yùn)用公式法將方程左邊因式分解成二項(xiàng)式的平方;