前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇排列組合例題范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。

排列組合例題范文第1篇

下面我們給出容斥原理的兩種等價形式，即以下的定理1和定理2，其中

表示有限集合A中的元素個數．

當k=3時，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．

定理2設A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k個子集合，則

由這兩個定理，我們可以解決一些需要討論多次的題目．

用容斥原理來解題時，關鍵在于能否用集合語言或符號語言將所要解決的問題表示出來．

一、在排列中的應用

先來看一道老題.

某市的4個化工廠，為了降低成本，適應市場變化，合并成一個化工集團公司，公司董事會由7名董事組成.

產生的7名董事全部分到各工廠進行生產管理，每廠至少一名，有幾種分法？

解析：方法一 ―― 分情況討論

最后的分配方式有三種可能，（1）一個工廠4個，其余各1個；（2）一個工廠3個，一個工廠2個，其余各一個；（3）一工廠1個，其余各2個．

可得最后結果為CCA+CCCCA+CCCCC=8 400種．

方法二 ―― 容斥原理

將這四個化工廠命名為A1，A2，A3，A4，設B1表示工廠A1無董事派入，B2表示工廠A2無董事派入，B3表示工廠）=47－4?37+C?27－C?17+C?0=8 400．

由此可知，容斥原理主要用于多個獨立條件共同作用的計數問題中．在高中數學中最常見的就是有限制的排列問題，下面，筆者列舉數例．

例19個人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，則有幾種排法？（禁位排列）

解析：設A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，則有A=B=A，A∩B=A，依題意有，滿足條件的排法總=A－2A+A.

與容斥原理相同的思路，我們還可以得到下面幾個關系式．

上述公式可以用韋恩圖進行驗證．

例29個人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必須站在第三排，問此時有幾種排法？

解析：此題用分類討論的方法可以得到解決，但靈活性較強． 同時此題也可以用上面所給出的公式直接求解．

方法一 ―― 分類討論

對丙的情況進行討論，（1）當丙不在第三排右端時，排法先排丙有A種排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法總數為A－2A+A，則這種情況的排法總數為A?（A-2A+A）=92 880；（2）當丙排在第三排右端時，分兩種情況進行討論：①當乙排在第一排左端時，有A=5 040種排法，②當乙不在第一排左端時有A?A?A=30 240種排法． 綜上，滿足條件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160種排法．

方法二 ―― 直接套用公式

設A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端． 依題意有

二、在古典概型中的應用

因為古典概型和排列組合是一脈相承的，所以容斥原理也可以應用于概率問題． 對于獨立事件來說有如下公式．

設A，B是兩相互獨立的事件，P（A），P（B）表示A，B發生的概率，A+B表示A或B發生，A?B表示A和B同時發生，則有

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）?P（B）.

對其進行推廣，當A1，A2，A3，…，An為n個相互獨立的事件，則有

P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）? P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）?…?P（An），由數學歸納法可得上述結論．

和計數問題的思路一致，先將滿足條件的事件寫出，再套用公式即可解答概率問題．

例3甲、乙、丙三人各進行一次射擊，如果三人擊中目標的概率都是0.6，求

（Ⅰ）三人都擊中目標的概率；

（Ⅱ）至少有一人擊中目標的概率．

解析：（Ⅰ）P（A?B?C)=P（A）?P（B）?P（C）=0.63=0.216；

（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．

例4如圖1所示，電路中五個方框均為保險匣，A，B，C，D，E各個保險絲被燒斷的概率分別為，，，，，且通電后保險絲是否燒斷是相互獨立的，則通電后不斷路的概率為多少？

[A][B][C][D][E]

圖1

解析：若我們設A′，B′，C′，D′，E′分別表示A，B，C，D，E不被燒斷這一事件． 依題意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通電后不斷路這一事件可寫成（A′?B′＋C′）?（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互獨立，則所求概率為

P［（A′?B′＋C′）?（D′＋E′）］

＝P（A′?B′＋C′）?P（D′＋E′）

=［P（A′?B′）+P（C′）－P（A′?B′?C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′?E′）］

=

對于可以用容斥原理及相關推論解決的題來說，先準確地寫出事件，再套用公式可以避免解題中過多的討論．

參考文獻

排列組合例題范文第2篇

1 、把5個不同的小球放入5個不同的盒子（不限制盒子放球數，每盒最多可放5個）有幾種不同的放法？

分析：5個小球分5次放（5步），每一個小球有5種放法。

解：有分步計數原理得

評述：本題是利用分步原理求解，模型為n個不同的球放入m個不同的盒子中（每盒可以放n個）有mn

2、把5個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：本題就是5個不同的元素按一定順序排列的排列個數，是一個典型全排列問題。

解：

3、把3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

解： 或

評述：本題是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解為從5個不同盒子中先取出3個盒子然后將3個小球一對一的放入每個盒子即為全排列

模型：把m個不同的元素放入n個不同的對象（ ）（每一個對象只能放一個元素）其排列數為 ，其實就是對排列概念的真正理解。

4、把7個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：先把7個小球分成5組，再把5組（5個元素）進行全排列，分組有兩類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數分別為 ， 因此：N=

評述：本題是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每個盒子至少放一個球，因此要先分組（把這些元素分成與位置一樣的組）后排列；要注意寫出有幾類不同的分組，同時分組要注意平均分組和局部平均分組的計算方法。（這里就不展開了）。

5、若5個不同的小球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子，每個盒子放一個，且要求乙球放入的盒子編號要比甲小，丙球放入的盒子編號要比乙球小，有幾種不同的放法？

分析：先在5個盒子中選出兩個放入另外兩個球有 ，剩下的3個盒子中按號從大到小放甲、乙、丙，只有一種方法。因此，N=

評述：本題對3個不同小球限制了條件。看上去有順序限制，事實上是變成了與順序無關的組合問題。

6、把紅、黃、藍、白、黑5個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子只能放一個：

若要求紅黃相鄰，有幾種不同的放法；

若紅、黃不相鄰，有幾種不同的放法；

紅球不在1號盒子，黃球不在5號盒子，有幾種不同的放法？

分析：（1）把紅黃兩個球看作一個整體與另外3個小球進行全排列有 ，又紅黃兩個小球可以進行全排列 ，故N=

（2）因為另外3個小球能制造4個空檔，所以先3個小球的全排列有 ，而紅、黃兩球的排法有 ，故N=

（3）本題可用間接法

評述：（1）（2）兩題是常見的相鄰與不相鄰問題，分別采用捆綁法和插空法，學生應該比較熟悉。而（3）是常見的對元素（或位置）進行限制的問題。分別對兩個元素限制不能排在某兩個位置上的排列模型為： 或

7、3個相同的小球放入到5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：先從5個盒子中任取3個盒子有 種，由于放入的是相同的元素，故是無序問題，所以N= 。

評述：本題突出了球相同，說的是把相同的元素放入到不同的位置，是組合問題，是對組合概念的具體化，不過其特點是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：法一：先把7個小球分成5組有以下幾類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，元素是相同的，故第一種有 （或 ），第二種有 （或 ）N= + =15

法二：相同元素分配用擋板法，故有 =15種

評述：本題是相同小球m個放入n個不同的盒子（m>n），每個盒子中至少一個元素，用擋板法比較簡練，類似的有名額分配問題。

引申：若把12個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放2個，有幾種不同的放法？

分析：先在每個盒子上先放上1個小球，再將剩下的7個小球用擋板法分別放入到5個盒子中，有 =15種

排列組合例題范文第3篇

[關鍵詞]分球入箱常規特殊

中圖分類號:O29文獻標識碼:A文章編號:1671-7597(2009)1110003-01

排列組合問題的求解要求具備較強的空間想象能力和對問題內涵的充分理解與認識,因此,從最基礎的知識入手,從不同角度對基礎問題的解法進行探究,往往能夠歸納總結出相應的解題思路與方法,具有較強的理論與應用價值。在排列組合問題中,分球入箱問題對綜合素質的要求較高,因此也容易使得這類問題成為難點的重要原因。本文將從最基礎的分球入箱題型入手,對其常規與特殊解法進行探究。

例題:將n個相同的球放入m個不同的箱子中,如果不允許有空箱,有多少種不同的方法?若允許有空箱,有多少種不同的方法?

該例題是分球入箱問題中最為基礎的問題,常規解法較為抽象,對于第一問,是將n個球排列成一排,再將箱子想象成m-1個隔板,由于箱子中不能存在空箱,因此隔板之間不能存在相鄰的情況,即在n個球形成的n-1個空隙中,選取m-1個空隙,將各個隔板分別插入到這些空隙當中,因此得到的結果就是一共有 種方法。而第二問的常規解法更為抽象,原理同第一問相同,但是因為允許有空箱,因此隔板可以出現任意相鄰的情況,此時可以將隔板與球等同看待,將二者組成的n+m-1個物體中再插入m-1個與第一文中相同、無法相鄰的隔板,從而將其分開,得到的結果是共有 種方法。

可以看到,常規解法較為抽象,直觀性不強。考慮到分球入箱問題是較為基礎的題型,與其他很多種題型具有較強的共通之處,因此本文認為,可以將這類問題作相應的變形,轉化為另外的問題加以研究。

方法舉例一:題目轉型為黑白球排列問題

這種方法的特點在于,將球和隔板分別看做是不同顏色的小球,各個顏色的小球之間不存在差異,這樣,分球入箱問題就轉化為了相對較為簡單直觀的黑白球排列問題。例題中的第一個問題就轉化成為有n個白球和m-1個黑球,對這些小球的排列要求不能將黑球相鄰排列,且黑球不能排在首末的位置,求其排法,原理與分球入箱的常規解法相同,是將黑球分別排列于n個白球之間的n-1個空隙中,因此排法的總數為 。而第二問就轉化為將所有的黑球和白球任意排列的方法總數,而解法就更為直觀,即可以想象有n+m-1個空格,將所有小球排列進去,不難發現,只要將白球或黑球先進行排列,則剩余顏色的球的排列方式就將是一定的,因此若先排列白球,則方法的數量為;先排列黑球則方法的數量為,有組合數的對偶原則可以看到,二者是相等的,該題得解。

方法舉例二:隔板插入法的變形

常規解法中盡管使用了隔板插入法,但是在對第二問的求解過程當中,兩次插入隔板,容易造成解題過程中思路的混亂與概念混淆,因此,將隔板插入法作一個簡單的變形,將隔板編號,引入隔板插入的順序就可以解決這個問題。

該方法對第一問的解法與常規解法大致相同,將m-1個隔板插入到n個小球形成的n-1個空隙當中,但是由于不能有空箱,因此,隔板之間必須有小球而不能相鄰。從n-1個空隙中選取m-1個,按照不同的順序進行擺放,可以看到有 種方法。

而對于問題的第二問,兩次插入隔板的方法略微復雜,且其過程不夠清楚,對于題目的理解和解法的原理難以準確把握,因此,可以將隔板看作是與小球相同的另外m-1個小球,但是要對這些小球進行標號,因為在該問題中,可以有空箱的存在,因此無論這m-1個小球如何擺放都是可以的。此時將第一個小球插入到原有小球中時,有n+1個空隙可供選擇,相應的也就有n+1中插入的方法;將第一個小球插入之后,排列的小球數量變為n+1個,可供第二個小球插入的空隙相應增加到n+2個,以此類推,可以看到,編號的小球插入的方法總數為(n+1)×(n+2)×(n+3)×…×(n+m-1)中,此時應當注意,小球原先是沒有編號的,因此對于小球安放的順序帶來的方法總數的增加應當被舍去,因此,實際上得到的方法

方法舉例三:分類累加法的一般規律

在分球入箱中給出數字較為具體的例題當中,分類累加法的運用較多,因為通過這種方法能夠直觀準確的判斷各種情況發生的可能與過程,從而對解決分球入箱問題的激勵有一個準確的把握。在本文的例題當中,使用n和m兩個未知數可以為這類問題提供分類累加法運用的一般規律,從而解決類似的所有問題。

首先來看第一問的解答方法,將所有的小球放置到盒子里并保證每個盒子都不空,如前文所述,得到的組合數為 個,由此可以類推,使得n個球在m-1個箱子里分布且保證箱子不空的方法數有 種。分類累加法的基本原理正是假設空箱子的個數。箱子的總數為m個,因此箱子最多只能有m-1個是空著的,因此,例題第二問的實質就是求當空箱子的個數分別為0,1,2,…,m-1的時候,也就意味著除了這些空箱子之外,其他的箱子保證不空的方法數的總和,為:

根據組合數的性質可以得到,求得的N就是 。

通過本文對分球入箱問題常規與特殊解法的探究可見,這類問題的基礎性較強,可以通過很多不同的角度,與很多其他方面的知識相融合進而得到不同類型的解題思路與方法,并且這些方法的側重點不同,適于針對不同類型的學生群體進行教學,并通過這些方法的學習與掌握,提高對排列組合相關知識的掌握程度。

參考文獻:

[1]夏春盛,例談分球入箱問題的解法[J].中學生數學,2006(3).

[2]周勇俊,排列組合中分球入箱問題的幾種解法[J].上海中學數學,2009(4).

作者簡介:

排列組合例題范文第4篇

【關鍵詞】排列組合 解題策略

排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應。從而導致學生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”。針對這一現象,筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性,能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發,逐步適應排列組合題的解題規律,從而做到以不變應萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性,可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:

1.占位子問題。例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

①仔細審題。在轉換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目。在審題的基礎上,為了激發學生興趣進入角色,我將題目轉換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題。這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經得到了極大的提高),班上其他同學也都積極思考(充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據乘法原理得到結果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結。接著我讓學生之間互相討論,根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結。對于這一類占位子問題,關鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2.分組問題。例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數,問這樣的五位數有幾個?

(本題我是先讓學生計算,有很多同學得出的結論是P×P)

①仔細審題。先由學生審題,明確組成五位數是一個排列問題,但是由于這五個數來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目。在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉換,有一位同學A將題目轉換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題。接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P×P .(同學們都表示同意,但是同學C說太蘩)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C×C×P(種)。

排列組合例題范文第5篇

關鍵詞:興趣;氣氛;積極性

中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)08-0206-01

在教學實踐過程中,筆者發現排列組合問題一直是影響學生取得高分的難點之一。排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應。從而導致學生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”,影響了學生學習的興趣。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性,能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發,逐步適應排列組合題的解題規律,從而做到以不變應萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性,可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:1、占位子問題例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

①仔細審題:在轉換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目:在審題的基礎上,為了激發學生興趣進入角色,我將題目轉換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題:這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經得到了極大的提高),班上其他同學也都積極思考(充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C 種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據乘法原理得到結果為2×C =20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結:接著我讓學生之間互相討論,根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結:對于這一類占位子問題,關鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2、分組問題例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數,問這樣的五位數有幾個?

(本題我是先讓學生計算,有很多同學得出的結論是P ×P )

①仔細審題:先由學生審題,明確組成五位數是一個排列問題,但是由于這五個數來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目:在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉換,有一位同學A將題目轉換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題:接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P ×P 種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法;最后由乘法原理得出結論為(P ×P )×(P ×P )(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P ×P .(同學們都表示同意,但是同學C說太蘩)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C ×C ×P (種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C ×C ×P (種)。