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1我國農業數學的起源

我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻。有足夠多的例證說明它們立論嚴謹,走在世界的前列。古代數學起源于農業生產。中國農業有著悠久的歷史,發生于原始采集和狩獵的經濟母體中。農業生產受社會經濟和自然環境等多種因素的影響,古人把“地”看成是“萬物之本原,諸生之根菀”,土地是農業生產的基本生產資料,有了“地”,就要有測量,就要有計算,當然就有了數學。

2我國農業數學的特點

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學,我國古代數學恰恰是在數、形、數形結合這3個方面有其特色和自成系統。我國最遲從春秋戰國開始就普遍用算籌記數,而且采用了十進位制,有了良好的記數工具,就可以比較輕便地進行自然數運算;除不盡的除法,還出現分數記法及其運算,用2種不同顏色的算籌區別正數和負數就可以通行無阻地進行有理數四則運算,能夠解決各種比例問題的“今有術”也是在這種算籌制上進行的;從兩漢歷經隋唐宋元,正確、快捷列出方程、方程組、不定方程和不定方程組也都是在這種算籌制上進行的。從漢末三國時代開始的出入相補、損廣益陜原理在處理空間形式問題上起到主導作用,平面圖形的割補和立體圖形的棋驗都體現了這一原理。用長方形余形相等出入相補法則來詮釋劉微重差九術就來得自然,用此來補證秦九韶三斜求積公式,“秦氏承襲希臘海倫”之說也將不攻自破,著名的劉微割圓術是出入相補的應用,祖用牟合方蓋這一專用模型來推導球的體積公式,在方法上、理論上和所得結果至今無可指責,究其原理還是出入相補之理。數形結合、相輔相成。開平方、開立方無疑是劉微“解體用圖”的具體應用,猶如層層剝繭、井然有序。沈括、楊輝堆垛求和,又與相應立體體積公式類比,從而導出正確結果。反過來,幾何問題又依賴于數量關系。例如趙爽“勾股圓方圖注”憑借計算,以證明勾股弦關系,海島重差借助長方形余形,其理始顯。圓,作為內接正多邊形倍增邊數的極限也是通過計算得以闡明的。

3我國古代數學專著中的農業數學問題

3.1《九章算術》《九章算術》是中國古代數學專著[1],是算經十書中最重要的一種。《九章算術》上承先秦數學發展之源流,入漢之后又經許多學者的整理、刪補和修訂,大約于東漢初年(公元1世紀)成書,是幾代人共同勞動的結晶,它的出現標志著中國古代數學體系的形成。后世的古代數學家,大都是從《九章算術》開始學習和研究數學的,許多人曾為它作過注釋,其中最著名的有劉徽(公元263年)、李淳風(公元656年)等人。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻,是世界上最早的印刷本數學書。《九章算術》在隋唐時期就已傳入朝鮮、日本。現在它已被譯成日、俄、德、英、法等多種文字。《九章算術》收有246個數學問題,分為九章。它們的主要內容分別是:第1章“方田”,研究田畝面積計算;第2章“粟米”,研究谷物糧食的按比例折換;第3章“衰分”,研究比例分配問題;第4章“少廣”,已知面積、體積、求其一邊長和徑長等;第5章“商功”,研究土石工程、體積計算;第六章“均輸”,研究合理攤派賦稅;第七章“盈不足”,即雙設法問題;第八章“方程”,研究一次方程組問題;第九章“勾股”,利用勾股定理求解。《九章算術》主要有以下的數學成就:①提出分數的通分、約分和加減乘除四則運算的完整法則,比歐洲早1400多年。②提出整套的比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。③介紹了開平方、開立方的方法,其程序與現今程序基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了中國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。④采用分離系數的方法表示線性方程組,相當于現在的矩陣。解線性方程組時使用的直除法,與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方,直到17世紀才提出完整的線性方程的解法和法則。⑤引進和使用了負數,并提出了正負數,正負數的加減法則,與現今代數法則完全相同;解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就,第一次突破了正數的范圍,擴展了數系。外國則到7世紀才認識負數。⑥提出了勾股數問題的通解公式。在西方直到3世紀才取得相近的結果,比《九章算術》晚了約3個世紀。⑦提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式。

3.2相關農業數學問題研究在古代中國數學中,就已研究過很多農業或與農業有關的問題,比如下面這些問題:例1今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深、葭長各幾何[2]?今譯:有一正方形池塘,它的邊長為1丈,一棵蘆葦生長在這池塘的正中央,長出水面1尺,如果將蘆葦拉向池塘邊,莖尖剛巧碰到池岸邊,問池塘水深及蘆葦長各是多少?這就是一個勾股定理的題目,使用勾股定理經過簡單計算,知水深一丈二尺,葭長一丈三尺。例2今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十,九家共出二百七十,盈三十。問家數牛價各幾何[3]?今譯:有若干戶人家共同買牛。如果7家共出錢190則不夠330,如果9家共出錢270,則多錢30。問家數及牛價各是多少?將盈不足術翻譯成如今方程組求解就是:設x為家數,y為牛價,由題意得:x9×270-y=30y-x7×190=330解得家數為126,牛價3750錢。例3今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,問積及粟幾何[1]?今譯:有粟若干,堆積在平地上成圓錐形,它的底圓周長是12丈,高2丈,問它的體積及粟各是多少?答曰:積八千尺,為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。例4今有委菽依垣,下周三丈,高七尺,問積及為菽各幾何[4]?今譯:有菽若干,靠墻堆積,它的底圓半周長3丈,高7尺,問它的體積及菽各是多少?答曰:積三百五十尺,為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。例5今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺,問積及為米幾何[5]?今譯:有米若干,堆積在墻的內角,它的底圓周長的1/4之一是8尺,高是5尺,問它的體積及米各是多少?答曰:積三十五尺九分尺之五,為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。關于這種計算堆積的方法,在我國民間沿用很廣,并將這些公式編成歌訣流傳下來。其歌訣是:光堆法用三十六,倚壁須分十八停,內角聚時如九一,外角三九甚分明。這些流傳的歌訣,可能就是后人根據《九章算術》的這個“委粟術”編寫而成的。很明顯,歌訣前3句的意思,就無異于“委粟術”的術文。至于歌訣的第4句,就是依墻外角堆米,參照術文可表達為:“依垣外角者(居圓錐之四分之三也)二十七而一。”不過,《九章算術》中沒有這樣的例子。總而言之,我國古代數學與農業有著千絲萬縷的聯系,筆者所述僅是冰山一角。