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高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想初探(免費論文)

【摘要】在高科技發(fā)展的今天,數(shù)學(xué)直接發(fā)揮著第一生產(chǎn)力的作用,高等數(shù)學(xué)是工科學(xué)生的必修課。數(shù)學(xué)是在實際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的,要解決實際問題就必需建立數(shù)學(xué)模型。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想是搞好高等數(shù)學(xué)教學(xué),充分發(fā)揮數(shù)學(xué)重要作用的有效手段和途徑。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);融入;數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)以抽象的形式,追求高度精確、可靠的知識。抽象并非數(shù)學(xué)獨有的特性,但數(shù)學(xué)的抽象卻是最為典型的,數(shù)學(xué)的抽象舍棄了事物的其他方面而僅僅保留某種關(guān)系或結(jié)構(gòu),同時,數(shù)學(xué)的概念和方法也是抽象的。數(shù)學(xué)是在對宇宙世界和人類社會的探索中追求最大限度的一般性模式,特別是一般性算法的傾向。這種追求使數(shù)學(xué)具有廣泛的適用性。同一組偏微分程,在流體力學(xué)中用來描寫流體動態(tài),在彈性科學(xué)實驗中用來描寫振動方程,在聲學(xué)中用來描寫聲音傳播等等。數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動,具有藝術(shù)的特征,具有優(yōu)美性。英國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家羅素對數(shù)學(xué)的優(yōu)美性曾有過一段精辟的話“:數(shù)學(xué)不僅擁有真理,而且擁有至高無尚的美,是一種冷峻嚴肅的美,就像是一種雕塑。這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾,它可以純潔到崇高的程度,能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的完美境界。”最近幾十年來,由于計算機技術(shù)的高速發(fā)展,數(shù)學(xué)的地位更是發(fā)生了巨大的變化。科學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué),現(xiàn)代科學(xué)的一個重要特征就是數(shù)學(xué)化,高技術(shù)在本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù),現(xiàn)代數(shù)學(xué)已不再僅僅是其他科學(xué)的基礎(chǔ),而是直接發(fā)揮著第一生產(chǎn)力的作用。

一、當(dāng)前工科數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀

作為一門基礎(chǔ)課,高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生的必修課。高等數(shù)學(xué)教學(xué),就其內(nèi)容而言是比較完備與定型的。高等數(shù)學(xué)是以討論函數(shù)微積分為主要內(nèi)容的一門學(xué)科,主要內(nèi)容是函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、微分方程等。這些內(nèi)容不僅是工科各專業(yè)課的理論基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)表達語言和工具也是學(xué)生從基礎(chǔ)教育思想向高等教育思想的過渡。高等數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是一門知識的傳授和學(xué)習(xí)現(xiàn)代自然科學(xué)的工具,更主要的是以此作為提高學(xué)生的素質(zhì)素養(yǎng)以及培養(yǎng)學(xué)生分析問題、邏輯思維和創(chuàng)新能力的一種手段和途徑,這已是大多數(shù)教育工作者的共識。它是從有限的、形象的思維形式向無限的思維形式過渡的一門承上啟下的基礎(chǔ)理論課程。但是,過分強調(diào)這一點,導(dǎo)致在數(shù)學(xué)計劃中加入越來越多和越來越細的內(nèi)容。通常是,老的內(nèi)容不減,新的內(nèi)容又必須插入,學(xué)生的負擔(dān)越來越重。不少學(xué)生帶著數(shù)學(xué)到底有什么用的困惑,在沉重的學(xué)習(xí)負擔(dān)下感到數(shù)學(xué)難懂又枯燥,學(xué)習(xí)興趣日下。一部分學(xué)生上課不聽,作業(yè)照抄,考試臨時抱佛腳。考試抑或沒通過,即使僥幸通過,也是學(xué)得快忘得更快。雖然有的學(xué)生嚴格按照老師的要求好好學(xué)習(xí)了,考試也許得了滿分,但一旦碰到以數(shù)學(xué)為工具解決各種實際問題時,也會束手無策,不知從哪兒下手怎樣搞好高等數(shù)學(xué)教學(xué),充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在各科和實際生活中解決實際問題的重要作用,這是值得我們探討的問題。

二、數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

數(shù)學(xué)是在實際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的,要解決實際問題就必需建立數(shù)學(xué)模型,即數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實世界的一些特定對象,為了某特定目的,做出一些重要的簡化和假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),用它來解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài),預(yù)測對象的未來狀況,提供處理對象的優(yōu)化決策和控制,設(shè)計滿足某種需要的產(chǎn)品等。一般來說數(shù)學(xué)建模過程可用

從此意義上講數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老歷史。例如,歐幾里德幾何就是一個古老的數(shù)學(xué)模型,牛頓萬有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個光輝典范。今天,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透,過去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化,數(shù)量化,需建立大量的數(shù)學(xué)模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起,計算機的普及和廣泛應(yīng)用,數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學(xué)建模被時代賦予了更為重要的意義。

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽自1985年由美國開始舉辦,競賽以三名學(xué)生組成一個隊,賽前有指導(dǎo)教師培訓(xùn)。賽題來源于實際問題。比賽時要求就選定的賽題每個隊在連續(xù)三天的時間里寫出論文,包括:問題的適當(dāng)闡述;合理的假設(shè);模型的分析、建立、求解、驗證;結(jié)果的分析;模型優(yōu)缺點討論等。

數(shù)學(xué)建模競賽宗旨是鼓勵大學(xué)師生對范圍并不固定的各種實際問題予以闡明、分析并提出解法,通過這樣一種方式鼓勵師生積極參與并強調(diào)實現(xiàn)完整的模型構(gòu)造的過程。以競賽的方式培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)進行分析、推理、證明和計算的能力;用數(shù)學(xué)語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數(shù)學(xué)結(jié)果的能力;應(yīng)用計算機及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力;獨立查找文獻,自學(xué)的能力,組織、協(xié)調(diào)、管理的能力;創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力。他還可以培養(yǎng)學(xué)生不怕吃苦、敢于戰(zhàn)勝困難的堅強意志,培養(yǎng)自律、團結(jié)的優(yōu)秀品質(zhì),培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。這項賽事自誕生起就引起了越來越多的關(guān)注,逐漸有其他國家的高校參加。我國自1989年起陸續(xù)有高校參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。1994年數(shù)學(xué)建模競賽被正式列為國內(nèi)大學(xué)生四大賽事之一,我校從95年就組隊參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,也取得了較滿意的成績。

通過多年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的實踐表明,數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)學(xué)生觀察力、想象力、邏輯思維能力以及分析、解決實際問題的能力起到了很大的作用,但是限于競賽的規(guī)模及對參賽水平的要求,參與數(shù)學(xué)建模競賽的只是少部分學(xué)生。盡管許多院校每年也為學(xué)生開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課及數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)班,但課程對學(xué)生數(shù)學(xué)知識要求較高,因此這些課程并不適合大眾化教育。要全面提高大學(xué)生的素質(zhì),培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型應(yīng)用人才,責(zé)任應(yīng)該落在平時的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程,則高等數(shù)學(xué)就是一個非常理想的載體。

三、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想、培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力

中國科學(xué)院院士李大潛指出“:數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其他科學(xué)和整個外部世界隔離開來,只是一個勁地在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中打圈子,這不利于了解數(shù)學(xué)的概念、方法和理論的來龍去脈,不利于啟發(fā)學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)工具來解決各種各樣的現(xiàn)實問題,不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在開設(shè)和改進數(shù)學(xué)建模課程的基礎(chǔ)上,逐步將數(shù)學(xué)建模的精神、內(nèi)涵和方法有機地體現(xiàn)到一些重要的數(shù)學(xué)課程中去,并在條件成熟時最終取消專門開設(shè)的數(shù)學(xué)建模類課程,或?qū)⑵渥優(yōu)檎n外訓(xùn)練的輔助環(huán)節(jié),應(yīng)該是一個努力的方向。”數(shù)學(xué)建模的思想和方法對于學(xué)生的創(chuàng)造性思維、意識和能力具有特殊的意義和良好的效果。在高數(shù)教學(xué)中浸透數(shù)學(xué)建模的思想,我們必須把握兩個原則:一是教學(xué)過程必須因材施教,合理安排,以高數(shù)教學(xué)為主,建模過程為輔,以保證高數(shù)課教學(xué)任務(wù)的完成。二是教學(xué)過程以介紹建模的思想、方法為主,提高建模能力為輔,故所選建模例子不宜過于復(fù)雜。

高等數(shù)學(xué)的微積分概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精髓之一事實上,在高等數(shù)學(xué)的微積分概念的形成中本身就滲透著數(shù)學(xué)建模思想,因此在數(shù)學(xué)概念的引入時,融入數(shù)學(xué)建模過程是完全可行的。為了在概念的引入中展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模,首先必須提出具有實際背景的引例。下面我們就以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)這一概念為例加以說明。

(一)、引例

模型I:變速直線運動的瞬時速度

1、提出問題:設(shè)有一物體在作變速運動,如何求它在任一時刻的瞬時速度?

2、建立模型:

分析:我們原來只學(xué)過求勻速運動在某一時刻的速度公式:S=vt那么,對于變速問題,我們該如何解決呢?師生討論:由于變速運動的速度通常是連續(xù)變化的,所以當(dāng)時間變化很小時,可以近似當(dāng)勻速運動來對待。假設(shè):設(shè)一物體作變速直線運動,以它的運動直線為數(shù)軸,則在物體的運動過程中,對于每一時刻t,物體的相應(yīng)位置可以用數(shù)軸上的一個坐標S表示,即S與t之間存在函數(shù)關(guān)系:s=s(t)。稱其為位移函數(shù)。設(shè)在to時刻物體的位置為S=s(t0)。當(dāng)在t0時刻,給時間增加了△t,物體的位置變?yōu)镾=(t0+△t):此時位移改變了△S=S(t0+△t)-S(t0)。于是,物體在t0到t0+△t這段時間內(nèi)的平均速度為:v=△

S

△t當(dāng)

△t很小時,v可作為物體在t0時刻瞬時速度的近似值。且當(dāng)△t越小,v就越接近物體在t0時刻的瞬時速度v,即vt0=lim

△t→0

△S

△t[

(1)式];

(1)即為己知物體運動的位移函數(shù)s=s(t),求物體運動到任一時刻to時的瞬時速度的數(shù)學(xué)模型。模型II:非恒定電流的電流強度。己知從0到t這段時間流過導(dǎo)體橫截面的電量為Q=Q(t),求在t0時刻通過導(dǎo)體的電流強度?通過對此模型的分析,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)建立模型II的方法步驟與模型I完全相同,從而采用與模型I類似的方法,建立的數(shù)

學(xué)模型為:It0=lim

△t→0

△Q

△t。

要求解這兩個模型,對于簡單的函數(shù)還容易計算,但對于復(fù)雜的函數(shù),求極限很難求出。為了求解這兩個模型,我們拋開它們的實際意義單從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看,卻具有完全相同的形式,可歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模型,即求函數(shù)改變量與自變量改變量比值,當(dāng)自變量改變量趨近于零時的極限值。在自然科學(xué)和經(jīng)濟活動中也有很多問題也可歸結(jié)為這樣的數(shù)學(xué)模型,為此,我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(二)、導(dǎo)數(shù)的概念

定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,

當(dāng)自變量x在x0處有增量△x時,函數(shù)有相應(yīng)的增量

△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果當(dāng)△x→0時△

y

△x的

極限存在,

這個極限值就叫做函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)。即函數(shù)

y=f(x)在點x0處可導(dǎo),記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=lim

△t→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x。

有了導(dǎo)數(shù)的定義,前面兩個問題可以重述為:(1)變速直線運動在時刻to的瞬時速度,就是位移函數(shù)S=S(t)在to處對時間t的導(dǎo)數(shù)。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定電流在時刻t0的電流強度,是電量函數(shù)Q=Q(t)在t0處對時間t的導(dǎo)數(shù)。即It0=Q′(t0)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo),稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時,對于(a,b)中的每一個確定的x值,對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)值f′(x),這樣就確定了一個新的函數(shù),此函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作y′或f′(x),導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)。顯然,y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值。由導(dǎo)函數(shù)的定義,我們可以推導(dǎo)出一系列的求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則。(略)有了求導(dǎo)公式,求導(dǎo)法則后,我們再反回去求解前面的模型就容易得多。現(xiàn)在我們就反回去接著前面模型I的建模步驟。

3、求解模型:我們就以自由落體運動為例來求解

設(shè)它的位移函數(shù)為S=1

2g

t2,求它在2秒末的瞬時速

度?由導(dǎo)數(shù)定義可知:v(2)=S′(2)=1

2*

2gt|t=2=2g。

4、模型檢驗:上面所求結(jié)果與高中物理上所求得的結(jié)果一致。從而驗證了前面所建立模型的正確性。

5、模型的推廣:前面兩個模型的實質(zhì),就是函數(shù)在某點的瞬時變化率(這也是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì))。由此可以推廣為:求函數(shù)在某一點的變化率問題(如切線的的斜率、邊際成本、細桿的線密度、化學(xué)反應(yīng)速度等)都可以直接用導(dǎo)數(shù)來解,而不須象前面那樣重復(fù)建立模型。除了在概念教學(xué)中可以浸透數(shù)學(xué)建模的思想和方法外還可以在習(xí)題教學(xué)中浸透這種思想和方法。在這里就不一一列舉。

綜上所述,在高數(shù)教學(xué)中浸透數(shù)學(xué)建模的思想方法,一是可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本思想,初步掌握從實際問題中提煉數(shù)學(xué)內(nèi)涵的方法,并使用數(shù)學(xué)技巧加以解決;二是作為對傳統(tǒng)意義上數(shù)學(xué)教學(xué)的補充可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,活躍課堂氣氛,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,也能檢驗學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和綜合運用能力。三是可以使學(xué)生把數(shù)學(xué)知識同專業(yè)知識相結(jié)合提高其解決實際問題的能力。充分發(fā)揮數(shù)學(xué)是一切自然學(xué)科基礎(chǔ)的重要作用。

【參考文獻】

[1]李大潛.中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]嚴勇,夏齡.數(shù)學(xué)建模教學(xué)與能力培養(yǎng)初探[J].康定師專學(xué)報,2003(增刊).

[3]劉來福,曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模[M].北京:北京師范大學(xué)出版社.1998.